Dla każdego parametru \(\theta_i\) modelu GARCH przeprowadzamy test istotności, aby sprawdzić, czy jego wartość jest statystycznie różna od zera. W tym celu używa się testu t-Studenta, który sprawdza hipotezę zerową \[
H_0: \theta_i = 0,
\] przeciwko \[
H_1: \theta_i \neq 0.
\] Statystyką testową jest \[
t_i = \frac{\hat{\theta_i}}{SE(\hat{\theta_i})},
\] gdzie \(\hat{\theta_i}\) to oszacowana wartość parametru, a \(SE(\hat{\theta_i})\) to jego błąd standardowy. Asymptotycznie \(t_i\) ma rozkład normalny, więc wykonujemy sprawdzenie \[
|t_i| > z_{1-\alpha/2},
\] gdzie \(z_{1-\alpha/2}\) to kwantyl rozkładu normalnego standardowego dla poziomu istotności \(\alpha\).
Alternatywnie, możemy patrzeć na poziom krytyczny \(p\)-value, który jest obliczany jako \[
p = 2 \cdot (1 - \Phi(|t_i|)),
\] gdzie \(\Phi\) to funkcja dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeśli \(p < \alpha\), to odrzucamy hipotezę zerową i uznajemy, że parametr jest istotny statystycznie.
W praktyce, zazwyczaj, gdy \(|t_i| > 2\), to możemy uznać, że parametr jest istotny na poziomie \(\alpha = 0.05\).
Testowanie istotności parametrów
Istotność parametrów dla modelu GARCH(1,1)
import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom arch import arch_model
Wczytujemy dane i obliczamy logarytmiczne stopy zwrotu z akcji Google. Wykres logarytmicznych stóp zwrotu przedstawia zmienność cen akcji w czasie.
googl = pd.read_csv('aapl.us.txt', index_col=0, skiprows=2)googl['log_return'] = np.log1p(googl.iloc[:,0].pct_change())googl = googl.log_returngoogl.index = pd.to_datetime(googl.index, format='%Y-%m-%d')googl.dropna(inplace=True)googl.plot(title='Log Returns of Google Stock', figsize=(14, 4))
Dopasowujemy model.
model = arch_model(googl, p =1, q =1, mean ='constant', vol ='GARCH', dist ='t')model_fit = model.fit(disp='off', cov_type ='robust')model_fit.summary()
Constant Mean - GARCH Model Results
Dep. Variable:
log_return
R-squared:
0.000
Mean Model:
Constant Mean
Adj. R-squared:
0.000
Vol Model:
GARCH
Log-Likelihood:
11665.0
Distribution:
Standardized Student's t
AIC:
-23320.0
Method:
Maximum Likelihood
BIC:
-23284.8
No. Observations:
8361
Date:
Sat, May 03 2025
Df Residuals:
8360
Time:
15:49:14
Df Model:
1
Mean Model
coef
std err
t
P>|t|
95.0% Conf. Int.
mu
-5.9876e-03
3.137e-04
-19.088
3.187e-81
[-6.602e-03,-5.373e-03]
Volatility Model
coef
std err
t
P>|t|
95.0% Conf. Int.
omega
8.3866e-03
5.463e-05
153.514
0.000
[8.280e-03,8.494e-03]
alpha[1]
0.8100
8.104e-02
9.996
1.594e-23
[ 0.651, 0.969]
beta[1]
9.7975e-06
5.900e-03
1.661e-03
0.999
[-1.155e-02,1.157e-02]
Distribution
coef
std err
t
P>|t|
95.0% Conf. Int.
nu
125.9364
1.673
75.284
0.000
[1.227e+02,1.292e+02]
Covariance estimator: robust
Testowanie istotności parametrów
Estymacja parametrów
Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Robust Standard Errors (Bollerslev-Wooldridge)
Walidacja założeń modelu
Wykres residuów
Szukamy wzorców w resztach modelu, które mogą sugerować, że model nie jest odpowiedni. Wykresy residuów powinny być losowe i nie wykazywać żadnych wyraźnych wzorców.
Zgodnie z założeniami reszty powinny być z rozkładu normalnego, widać jednak często występujące ekstremalne wartości.
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acffig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(14, 4))plot_acf(model_fit.std_resid, lags=40, ax=ax, alpha=0.05)ax.set_title('ACF of Standardized Residuals')plt.show()
Walidacja założeń modelu
Test Ljung-Boxa
Test Ljung-Boxa sprawdza, czy reszty modelu są niezależne. Hipotezy testowe są następujące: \[
H_0: \text{reszty są niezależne} \\
H_1: \text{reszty są skorelowane}.
\] Robimy wykres \(p\)-value dla różnych opóźnień \(h\).
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungboxljung_box = acorr_ljungbox(model_fit.std_resid, return_df=True)ljung_box['lb_pvalue'].plot(title='Ljung-Box Test p-values', figsize=(14, 4), style='.')plt.axhline(y=0.05, color='r', linestyle='--')plt.xlabel('Lag')plt.ylabel('p-value')plt.show()
Miary dopasowania modelu
Akaike Information Criterion (AIC)
\[
AIC = -2 \cdot \log(L) + 2 \cdot k
\] gdzie \(L\) to funkcja wiarygodności, a \(k\) to liczba parametrów w modelu. Im mniejsza wartość AIC, tym lepsze dopasowanie modelu.
Preferuje modele o mniejszej liczbie parametrów, ale nie karze ich zbytnio za złożoność.
Jeśli zależy nam na lepszych zdolnościach predykcyjnych, to lepiej użyć AIC.
Bayesian Information Criterion (BIC)
\[
BIC = -2 \cdot \log(L) + k \cdot \log(n)
\] gdzie \(L\) to funkcja wiarygodności, \(k\) to liczba parametrów w modelu, a \(n\) to liczba obserwacji. Podobnie jak AIC, im mniejsza wartość BIC, tym lepsze dopasowanie modelu.
Preferuje modele o mniejszej liczbie parametrów, ale karze je bardziej za złożoność.
Jeśli zależy nam na lepszym dopasowaniu modelu do danych, to lepiej użyć BIC.
Backtesting modelu GARCH(1,1)
Miary
Mean Absolute Error (MAE)
\[
MAE = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} |y_t - \hat{y_t}|
\]
Wykonujemy prognozę o jeden krok do przodu, a następnie porównujemy prognozowane wartości z rzeczywistymi wartościami. Wykonujemy prognozę na podstawie modelu GARCH(1,1) i obliczamy MAE i RMSE.
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error# Wykonujemy prognozę na 1 krok do przoduforecast = model_fit.forecast(horizon=1)predicted = forecast.variance.values[-1, :][0]actual = googl.iloc[-1]**2mae = mean_absolute_error([actual], [predicted])rmse = np.sqrt(mean_squared_error([actual], [predicted]))print(f'MAE: {mae}')print(f'RMSE: {rmse}')
